Эссе. К вопросу о природе математики и логики.



Природа математики и логики заключается, во-первых, в том, что человек ощущал и ощущает зыбкость и неточность естественного языка, и ему хотелось бы внести в мир собственных представлений чистоту и ясность. Множество слов с одним значением, одно слово с разными значениями – это лишь часть тех трудностей, с которыми нам приходится сталкиваться. Но на деле «…мы можем определить понятие логически истинного предложения для всех известных языков», поэтому надежда получить крупицу такой ясности небезосновательна.

Правда мы полагаем, что, скажем, метафоры, которых пытается избежать логика и математика, могут быть весьма точными, например, у Гераклита метафора лука и лиры, выражающая враждебную гармонию. И почему же тогда не выражать в логике и математике метафоричные мысли? Скорее всего, потому, что у этих наук совершенно другая природа, они основываются на рассудке и разуме, в то время как метафора – это продукт свободной игры способности воображения. Для математика, в какой-то мере, важна способность воображения, чтобы комбинировать и сопоставлять функции и переменные, но это далеко не самая нужная способность. Здесь уже требуется отвлечение ума. И, во-вторых, именно отвлеченный ум порождает математические истины, хотя в самих истинах нет никакой психологии, нет внутрисознательности или имманентности, и о состояниях сознания здесь говорить не нужно.



Ранее мы считали, что пропозиции целиком и полностью зависят от сознания (или от ума), но теперь мы думаем, что сознание нельзя так абсолютизировать, и те самые пропозиции, о которых мы говорим, могут существовать совершенно без всякого сознания, потому что они объективны. И если признать, что сейчас светит солнце, проще увидеть, что это никак не зависит от нашего внутреннего состояния. Но так ли это, ведь человек, например, в состоянии душевной болезни будет чувствовать, что солнечные лучи черны, хотя такого быть не может? Это сложный вопрос, ответ на который нужно обдумать в более масштабном исследовании.

Наша интериоризация – работа над усвоением – позволяет обрабатывать смыслоопределяющие схемы мира, который находится в поле нашего непосредственного опыта, но не дальше, а солнце не воспринимается непосредственно. Действительно ли это так? Действительно ли то, что наш опыт может быть резко ограничен, например, пространством между Солнцем и Землей, в то время как нам кажется, что мы воспринимаем небесное тело непосредственно? Главное здесь не выйти на банальную дихотомию субъекта и объекта. Мы не то чтобы создаем нечто, мы пытаемся трактовать мир, который избыточен относительно наших представлений, но мы, в принципе, не являемся точкой отсчета, мы – лишь одна из форм бытия, наделенная способностью к осмыслению других форм бытия. А математика и логика – это своего рода способ трактовки очень специфичной области реальности – области априорного знания.

Априорное – это доопытное, т.е. какая-то определенная сеть суждений, не нуждающихся в верификации. Но существуют ли такие суждения? Здесь главное не уйти в скептицизм. Мы действительно познаем, а вещи действительно нам являются, и получается стройная система со-бытия. Мы накладываем на окружающий мир наши схемы, нашу систему утверждений и негаций в попытке высветить эту многослойность мира, дабы она была отчетливой. Где здесь a priori? А priori не относится к конкретным внутримирным вещам, это совершенно другая область, где развертывается возможный мир как целое.

«…критерий аналитической пропозиции в том, что ее обоснованность следует просто из определения содержащихся в ней терминов, а это условие выполняется пропозициями чистой математики», – пишет Айер.

Интересно здесь то, что именно термины являются изначально важными, с чем мы всегда соглашаемся, работая с ними. Мы полагаем, что смыслоопределяющие схемы, появляющиеся на стыке Я и мира, всегда связаны с какими-то понятиями и терминами, стягивающими в себе смысл предмета.

«Схемы вводятся в качестве содействия нашему разуму. Они обеспечивают нас частным применением геометрии и поэтому помогают нам воспринять более общую истину, что аксиомы геометрии включают определенные следствия».

Но можем ли мы принять чистую априорность этих терминов? Скорее всего, нет, об этом ниже.

Смысл понятия, как мы считаем, рождается на стыке a priori и a posteriori – доопытного и опытного, т.к. какая-то часть этого смысла находится в области априорного, а какая-то – в области апостериорного, например понятие синтеза опыта: априорно в нем то, что синтез бесконечен и нам даже не надо специально удостоверяться в этом, а апостериорно в нем то, что синтезируются аудиальные, визуальные и другие аспекты наличности.

Априорное и апостериорное очень тесно связаны на границе между нами и миром, и, говоря о мире, мы собираем смысл и из конкретной гилетической «материи» созерцания, и из понятий нашего рассудка. Здесь нельзя развести созерцание и понятия, они находятся в едином континууме. Но так ли это по отношению к математике и логике? Кант говорил, что понятия без созерцаний пусты, а созерцания без понятий слепы. Относится ли это в том числе и к математике и логике? Думается, что это относится к геометрии, где наслаиваются друг на друга мысленное и изображаемое, например, когда мы рисуем отрезок или куб. Но относится ли это к алгебре? Скорее всего, нет, ибо алгебра манипулирует такими понятиями, для которых нет объекта в мире. Мы можем анализировать алгебраические выражения и без потребности в упрощенной визуализации, кроме той, что относится к написанию выражений на доске. Так же и с логикой: оперировать логическими понятиями можно без всякой иллюстрации и только на основании их умопостигаемых соотношений. Хотя на самом деле можно визуализировать какое-то соотношение, скажем, кругами Эйлера, но это делается только для иллюстрации, которая кому-то, кто очень хорошо разбирается в логике и видит соотношение уже в самом выражении, может показаться излишней.

В наших отвлеченных рассуждениях мы пользуемся тавтологиями, которые понятны сами по себе.

«После подстановки констант на место переменных правило вывода нечто утверждает относительно определенного рассуждения — относительно «соблюдения» этого правила — а именно, что это рассуждение верно; однако соответствующая формула после такой подстановки превращается в логическую тавтологию…».

Может, именно в тавтологичности и заключается природа логики и математики? Попробуем рассудить. Тавтологии как бы говорят не о мире, а сами о себе, они замкнуты и непреложны, и из них дедуцируются другие истины в дальнейшем.

«Мы уже объяснили, каким образом получается, что эти аналитические пропозиции являются необходимыми и дос-товерными. Мы видели, что причина, по которой они не могут быть опровергнуты опытом, состоит в том, что они ничего не утверждают об эмпирическом мире».

Это высказывание интересно тем, что мы действительно не утверждаем ничего о т.н. реальной (эмпирической) действительности и о сущем, когда оперируем понятиями этого кластера (математическими и логическими). Но тогда что это за истины, о чем они говорят и для чего нужны? Только ли для отдельной работы с миром a priori? Да, они обозначают свойство математических и логических миров быть такими, какие они есть. И всякое отрицание тавтологий – это бессмыслица. Но логика, как мы знаем, не ограничивается тавтологиями, поэтому наш вопрос выше не совсем правилен, и природа логики и математики не совсем в тавтологичности, ибо тавтологии именно говорят не о мире, а сами о себе. Логические понятия и формулы тоже не говорят о мире в смысле мира материального, скорее они дают представление о мире идеальном.

«Способность логики и математики приносить нам сюрпризы, как и их полезность, зависит от ограниченности нашего разума. Существо, чей интеллект бесконечно могуч, не проявляло бы интерес к логике и математике».

Очень любопытное наблюдение. Получается, что разумное существо создало логику уж точно не из своего потока сознания, или будто бы логика создала в этом существе свой мир истин. Несколько похоже на чистое сознание у Гуссерля, которое не принадлежит нам, а мы принадлежим ему, зависим от него. Можно ли тогда сказать, что логика и математика создали себя сами? Это абсурд. Но я опять подчеркну то, что логика и математика не содержат в себе ничего психологического, пусть даже и были (условно) созданы разумным существом.

Но почему существо с бесконечно могучим интеллектом не проявило бы интерес к логике и математике? Потому, что это существо и так знало бы все следствия из отвлеченных истин, а без доказательства пропала бы сама идея логического и математического знания. Человеку, например, в отличие от Бога, не присущ бесконечно могучий интеллект, поэтому он нуждается в выводе и доказательстве. В связи с этим приведем любопытную сентенцию из Гординга Ларса, где говорит сам Бог:

«…я позволяю ей [математике] развиваться самостоятельно. Так интереснее».

Таким образом, «сказать, что пропозиция истинна априорно — значит, сказать, что она является тавтологией. А тавтологии, хотя они и могут служить нам проводниками в нашем эмпирическом поиске знания, сами не содержат никакую информацию о реальности». Вот примерно это мы и имели в виду, когда говорили о тавтологиях.

«…логические и математические истины не отличаются по своему происхождению от эмпирических истин — и те и другие суть результаты накопленного опыта», — пишет Тарский.

Но вопрос в том, какой это опыт. Опыт об абстрактных идеях, скорее всего, не тождественен опыту о вещах: вещи даются и конституируются непосредственно в опыте о них, в то время как идеи вырабатываются опосредовано, через рассуждение, или через озарение (но в мистику уходить не будем).

Мы уже заявляли, что аксиомы неизменны. Так ли это? Тарский пишет:

«…я могу вообразить, что некий новый опыт предельно фундаментальной природы может склонить нас к тому, чтобы мы изменили некоторые аксиомы логики».

То есть получается, что мы можем усомниться в некоторых аксиомах? Не приведет ли это в конечном итоге к скептицизму? Исчезнет ли достоверность при познании? А идея последнего основания? Нам казалось, что должно быть что-то, к чему мы можем обратиться как к предпосылке. Но мы не отрицаем аксиомы вообще и не то, чтобы время от времени сомневаемся в них; нам нужен какой-то серьезный повод для изменения этих привычных для логика и математика истин; если же его нет, то и менять ничего не стоит. Мы должны понять, какая проблема вынуждает нас что-то пересмотреть.

«…правила логики (или правила вывода) являются правилами образа действий».

Таким образом, мы распространяем правила логики на всю нашу жизнь и не ограничиваемся теоретической узконаправленностью этих правил (т.е. не считаем, что правила логики применимы только в логике). То же и с математикой? Возможно, что да, ведь, скажем, в программировании задействованы и широко применимы эти самые математика и логика. А в жизни в целом стоит ли опираться на логические правила? Да, к примеру, если вы выступаете на какой-нибудь конференции и ваш долг – говорить без двусмысленностей и ошибок. Тот, кто хочет создать серьезную теорию, должен банально не допускать логического круга и других неточностей. Если мы сознательно или интуитивно соблюдаем правила логики – при истинных посылках мы можем получить истинное заключение, что нельзя переоценить.

Поппер выделяет несколько трактовок логических истин: а) правила логики являются законами мышления, б) правила логики есть наиболее общие законы природы — это дескриптивные законы, справедливые для любых объектов, и в) правила логики есть законы определенных дескриптивных языков, управляющие использованием слов и предложений. Какая трактовка ближе всего к истине? Уж точно не та, где утверждается, что логические законы – это законы мышления, причем мышления повседневного. Если подумать – в логике такой направленности нет. Разве мы мыслим в обыденной жизни, следуя неукоснительно логическим правилам? Нет, не мыслим, наш ум часто ошибается. Также логические правила – не законы природы, природа существует по своим законам.

«Очевидно, следует избегать нарушения правил логики только в том случае, если мы стремимся формулировать или выводить истинные высказывания, т.е. истинные описания фактов».

Именно тогда, а не в каждом моменте жизни, мы обращаемся к логическим правилам, это естественно.

«Таким образом, даже если некоторый язык достаточно богат для описания всех фактов, которые нам нужны, в нем может не оказаться средств для формулировки правил вывода, охватывающих все переходы от истинных посылок к истинным заключениям».

Так мы опять убеждаемся, что естественный язык проблематичен. Для точности необходимо формализовать общезначимые правила вывода, которые мы интуитивно знаем и пользуемся ими.

Поппер пишет:

«…хотя для любого данного общезначимого интуитивного вывода можно построить язык, позволяющий формализовать этот вывод, нельзя построить язык, позволяющий формализовать все общезначимые интуитивные выводы».

Так что мечта об идеальном языке останется лишь мечтой. Вот мы и вернулись к началу нашей работы: зыбкость естественного языка, усилие, брошенное на создание идеального языка совершенно без белых пятен… Не будет точнейшего языка, чтобы отразить идеальный мир в его сложности и многосторонности.

Таким образом, мы пришли к тому, что логика и математика – эти самые абстрактные из всех наук – имеют природу объективного знания об идеальном мире, и соотносятся также с физическим миром объектов. Априорность в этом случае не есть внутрисознательность, как мы долго думали, априорность относится к независимому от нас миру идеальных объектов, из которого мы можем что-то впитывать для разрешения сложных проблем, вставших перед интеллектом. 

Автор: Артюшенко Полина

Размещено: 

Die Anschauung. Философия. Расширяем горизонты.


 

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
(Visited 69 times, 1 visits today)

Оставить комментарий

Перейти к верхней панели